Probabilité : formule, arbre, exemples et exercices corrigés

L’essentiel
Formule de base	P(A) = issues favorables ÷ issues possibles
Valeurs possibles	Entre 0 et 1 (ou 0 % et 100 %)
Événement contraire	P(Ā) = 1 − P(A)
Événements indépendants	P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Probabilité conditionnelle	P_B(A) = P(A ∩ B) ÷ P(B)

Les probabilités permettent de mesurer le hasard : la chance de gagner à un jeu, de tirer une carte précise ou qu'il pleuve demain. Ce guide reprend l'essentiel du programme, de la formule de base à la probabilité conditionnelle et aux arbres pondérés, avec des exercices corrigés et un calculateur pour vérifier vos résultats.

Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire : une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat, comme lancer un dé.
Univers (Ω) : l'ensemble de toutes les issues possibles. Pour un dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Événement : un ensemble d'issues. « Obtenir un nombre pair » est l'événement {2, 4, 6}.
Événement contraire (Ā) : toutes les issues qui ne sont pas dans A.
Équiprobabilité : toutes les issues ont la même probabilité, comme pour un dé non truqué.

Une probabilité est toujours comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).

La formule de la probabilité

En situation d'équiprobabilité :

P(A) = nombre d'issues favorables ÷ nombre d'issues possibles

Dé : P(obtenir 6) = 1/6 ≈ 0,1667 ≈ 16,67 %. P(obtenir un nombre pair) = 3/6 = 0,5 = 50 %.

Pour exprimer le résultat en pourcentage, on multiplie par 100.

Calcul de probabilité

Les règles de calcul

Événement contraire

P(Ā) = 1 − P(A)

Probabilité de ne pas obtenir 6 avec un dé : 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 83,33 %.

C'est l'astuce clé pour les questions « au moins une fois » : on calcule la probabilité que l'événement ne se produise jamais, puis on la soustrait de 1.

Réunion de deux événements (A ou B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Jeu de 52 cartes : P(cœur ou roi) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 ≈ 30,77 %. Le roi de cœur est compté deux fois, on le retire une fois.

Si A et B sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire ensemble), P(A ∩ B) = 0 et il suffit d'additionner.

Intersection et indépendance (A et B)

Si A et B sont indépendants :

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Deux pièces : P(pile et pile) = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 25 %.

Si les événements dépendent l'un de l'autre, on multiplie par la probabilité conditionnelle. Tirer deux as d'un jeu de 52 cartes sans remise : 4/52 × 3/51 = 12/2 652 ≈ 0,45 %.

Probabilité conditionnelle

La probabilité de A sachant B se note P_B(A) (ou P(A | B)) :

P_B(A) = P(A ∩ B) ÷ P(B)

Un dé a donné un nombre pair. Probabilité que ce soit un 6 : P(6 ∩ pair) = 1/6 et P(pair) = 1/2, donc P_pair(6) = (1/6) ÷ (1/2) = 1/3 ≈ 33,33 %.

Savoir que B s'est produit réduit l'univers : ici, il ne reste que {2, 4, 6}.

Arbre de probabilité (arbre pondéré)

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Trois règles suffisent :

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).

Exemple. Une urne A contient 3 boules rouges et 2 noires, une urne B contient 1 rouge et 4 noires. On lance une pièce : pile, on tire dans A ; face, on tire dans B.

Chemin pile → rouge : 1/2 × 3/5 = 3/10
Chemin face → rouge : 1/2 × 1/5 = 1/10
P(rouge) = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 40 %

Et si l'on a tiré une boule rouge, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne A ? P_rouge(A) = (3/10) ÷ (4/10) = 3/4 = 75 %. C'est la formule de Bayes, appliquée directement sur l'arbre.

« Au moins une fois » sur plusieurs essais

P(au moins une fois en n essais) = 1 − (1 − p)ⁿ

Obtenir au moins un 6 en 4 lancers : 1 − (5/6)⁴ ≈ 1 − 0,4823 = 51,77 %.

Le résultat « exactement » utilise la loi binomiale : P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Exercices de probabilité corrigés

1. Dé. Probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ? Issues favorables {5, 6} : 2 sur 6. P = 1/3 ≈ 33,33 %.

2. Trois pièces. Probabilité d'obtenir exactement deux piles ? 8 issues possibles (2³). Favorables : PPF, PFP, FPP = 3. P = 3/8 = 37,5 %.

3. Deux dés. Probabilité que la somme fasse 7 ? 36 issues ; 6 donnent 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). P = 1/6 ≈ 16,67 %, la somme la plus probable.

4. Cartes. Probabilité de tirer une figure (valet, dame, roi) dans un jeu de 52 cartes ? 12 figures sur 52. P = 3/13 ≈ 23,08 %.

5. Sans remise. Une urne contient 5 boules rouges et 3 bleues. On en tire deux sans remise. Probabilité que les deux soient rouges ? P = 5/8 × 4/7 = 5/14 ≈ 35,71 %.

6. Conditionnelle. Dans une classe, 60 % des élèves font de l'anglais, 30 % de l'espagnol et 20 % les deux. On choisit au hasard un élève qui fait de l'espagnol : probabilité qu'il fasse aussi de l'anglais ? P_espagnol(anglais) = 0,20 ÷ 0,30 = 2/3 ≈ 66,67 %.

7. Au moins une fois. Probabilité d'obtenir au moins un 6 en trois lancers ? 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42,13 %.

Probabilités et jeux d'argent

Les jeux de casino sont une application directe des probabilités, et montrent pourquoi la banque gagne à long terme. À la roulette européenne, il y a 37 cases : miser sur un numéro donne une probabilité de 1/37 ≈ 2,70 %, mais le gain est de 35 contre 1 au lieu des 36 contre 1 qui seraient équitables. Cet écart est l'avantage de la maison : en moyenne, la banque garde 2,70 % des mises.

Aucune martingale ne change ce calcul, car chaque tour est indépendant. Croire qu'un numéro « doit » sortir est l'erreur du joueur. Pour aller plus loin, voir nos guides (en anglais) sur cotes et probabilités et l'avantage de la maison.

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Questions fréquentes

Quelle est la formule d'une probabilité ?

Dans une situation d'équiprobabilité, P(A) = nombre d'issues favorables à A ÷ nombre total d'issues. Pour obtenir un nombre pair avec un dé : 3 issues favorables (2, 4, 6) sur 6, donc P = 3/6 = 1/2.

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

On utilise P_B(A) = P(A ∩ B) ÷ P(B), qui se lit « probabilité de A sachant B ». Si un dé a donné un nombre pair, la probabilité que ce soit un 6 est (1/6) ÷ (1/2) = 1/3.

À quoi sert un arbre de probabilité ?

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. On multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de ce chemin, et on additionne les chemins qui mènent au même événement (formule des probabilités totales).

Quelle différence entre événements incompatibles et indépendants ?

Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps (P(A ∩ B) = 0). Deux événements indépendants peuvent se produire ensemble, mais l'un ne change pas la probabilité de l'autre (P(A ∩ B) = P(A) × P(B)).

Probabilité : formule, probabilité conditionnelle, arbre pondéré et exercices